Dynamisk programmering (DP) løser problemer med overlapping subproblems og optimal substructure ved at beregne hvert delproblem én gang og genbruge resultatet. De to stilarter er memoization (top-down) og tabulation (bottom-up).
Naiv rekursion genberegner de samme delproblemer eksponentielt. DP gemmer dem, hvilket kollapser eksponentielt arbejde til polynomielt.
from functools import lru_cache
@lru_cache(maxsize=None) # cache results automatically
def fib(n):
if n < 2:
return n
return fib(n - 1) + fib(n - 2) # each n computed once
def fib_table(n):
if n < 2:
return n
dp = [0, 1]
for i in range(2, n + 1):
dp.append(dp[i - 1] + dp[i - 2]) # build up from base cases
return dp[n]
| Memoization | Tabulation | |
|---|---|---|
| Retning | top-down rekursion | bottom-up iteration |
| Beregner | kun nødvendige tilstande | alle tilstande |
| Risiko | stack overflow | ingen |
| Plads | kan trimmes | ofte reducerbar til O(1) rækker |
Fibonacci: fra O(2ⁿ) naiv til O(n) tid, O(n) (eller O(1)) plads.
Brug DP når delproblemer overlapper. Definer tilstand og rekurrence omhyggeligt — det er den svære del. Hvis delproblemer ikke overlapper, er plain divide-and-conquer nok.
DP konverterer intractable eksponentielle problemer — korteste veje, edit distance, knapsack — til effektive.
Færdigheden i at identificere tilstand og rekurrence er blandt de mest værdifulde i algoritmiske interviews.
Det ligger til grund for reelle systemer fra diff-værktøjer til bioinformatik-sekvensindligning.