Apa itu prefix sum, dan bagaimana cara mempercepat range query?

Question

Accepted Answer

Array **prefix sum** menyimpan total kumulatif sehingga **range sum** apa pun dapat dijawab dalam **O(1)** setelah preprocessing O(n) — bukannya O(n) per query.

## Idenya

Biarkan `prefix[i]` menjadi jumlah dari `i` elemen pertama. Maka jumlah `arr[l..r]` adalah `prefix[r+1] - prefix[l]`.

## Contoh

```python
def build_prefix(arr):
    prefix = [0] * (len(arr) + 1)
    for i, x in enumerate(arr):
        prefix[i + 1] = prefix[i] + x   # running total
    return prefix

def range_sum(prefix, l, r):            # inclusive l..r
    return prefix[r + 1] - prefix[l]    # O(1)

p = build_prefix([2, 4, 1, 3, 5])
range_sum(p, 1, 3)                      # 4+1+3 -> 8
```

## Trace

```text
arr    = [2, 4, 1, 3, 5]
prefix = [0, 2, 6, 7, 10, 15]
sum(1..3) = prefix[4] - prefix[1] = 10 - 2 = 8
```

## Kompleksitas

- **Build:** O(n). **Query:** O(1). **Space:** O(n).

## Kapan menggunakan / perangkap

Ideal untuk **banyak range-sum query** pada data statis. Varian: 2D prefix sum untuk submatrix sum, prefix XOR, dan difference array untuk range update. Jika array sering berubah, gunakan Fenwick/segment tree sebagai gantinya. Perhatikan offset indeks (ukuran n+1).

## Mengapa ini penting

Prefix sum mengubah range query O(n) berulang menjadi O(1) lookup — kemenangan besar saat query sering terjadi.

Pola precompute-once, answer-fast digeneralisasi ke banyak tugas pemrosesan data.

Ini adalah tulang punggung competitive programming dan blok bangunan umum dalam analytics.