プレフィックス和配列は累積合計を格納し、範囲和が O(n) の前処理後に O(1) で答えられます。クエリごとに O(n) ではなく。
アイデア
prefix[i] を最初の i 個の要素の合計とします。すると、arr[l..r] の合計は prefix[r+1] - prefix[l] です。
def build_prefix(arr):
prefix = [0] * (len(arr) + 1)
for i, x in enumerate(arr):
prefix[i + 1] = prefix[i] + x # running total
return prefix
def range_sum(prefix, l, r): # inclusive l..r
return prefix[r + 1] - prefix[l] # O(1)
p = build_prefix([2, 4, 1, 3, 5])
range_sum(p, 1, 3) # 4+1+3 -> 8
arr = [2, 4, 1, 3, 5]
prefix = [0, 2, 6, 7, 10, 15]
sum(1..3) = prefix[4] - prefix[1] = 10 - 2 = 8
静的データの多数の範囲和クエリに最適です。変種: 部分行列の合計のための2Dプレフィックス和、プレフィックス XOR、範囲更新のための差分配列。配列が頻繁に変わる場合は、代わりに Fenwick ツリー/セグメントツリーを使用します。インデックスオフセットに注意してください（サイズ n+1）。
プレフィックス和は、繰り返される O(n) の範囲クエリを O(1) のルックアップに変えます — クエリが頻繁な場合に大きな利点です。
前計算一度、高速に答える パターンは、多くのデータ処理タスクに一般化します。
競技プログラミングの基本要素であり、分析における一般的な構築ブロックです。