Både et segmenttræ og et Fenwick-træ (Binary Indexed Tree, BIT) besvarer intervalforespørgsler (f.eks. sum over [l, r]) og punktopdateringer i O(log n), sammenlignet med O(n) for en naiv scanning eller O(n) opdateringer for et prefix-sum-array.
Både et segmenttræ og et Fenwick-træ (Binary Indexed Tree, BIT) besvarer intervalforespørgsler (f.eks. sum over [l, r]) og punktopdateringer i O(log n), sammenlignet med O(n) for en naiv scanning eller O(n) opdateringer for et prefix-sum-array.
Array + many "sum of range [l,r]" and "update index i" calls:
naive prefix sums: query O(1) but UPDATE is O(n)
segment/Fenwick: query O(log n) AND update O(log n)
class Fenwick:
def __init__(self, n):
self.t = [0]*(n+1)
def update(self, i, delta): # O(log n)
i += 1
while i < len(self.t):
self.t[i] += delta
i += i & (-i) # jump to next responsible node
def prefix(self, i): # sum of [0..i], O(log n)
i += 1; s = 0
while i > 0:
s += self.t[i]
i -= i & (-i)
return s
def range_sum(self, l, r):
return self.prefix(r) - self.prefix(l-1)
Et segmenttræ lagrer en aggregering per array-segment i et binært træ og understøtter enhver associativ operation (sum, min, max, gcd) og med lazy propagation også intervalopdateringer.
[0..7] sum
/ \
[0..3] [4..7]
/ \ / \
[0..1][2..3] [4..5][6..7] ... down to single elements
| Fenwick (BIT) | Segmenttræ | |
|---|---|---|
| Forespørgsel / opdatering | O(log n) | O(log n) |
| Plads | O(n) | O(2n) |
| Operationer | summer (inverterbare) | enhver associativ op |
| Intervalopdateringer | sværere | let (lazy propagation) |
| Kodestørrelse | bittestørrelse | større |
Disse strukturer gør "opdater en værdi, derefter forespørg en aggregering over et interval" hurtig — essentiel for konkurrenceprogram, analysevinduers og intervalproblemers løsning.
At vælge mellem dem er en afvejning: et Fenwick-træ er lille og hurtigt for summer, mens et segmenttræ er mere fleksibelt til min/max/intervalopdaterings-arbejdsbyrder.