Ein Segmentbaum und ein Fenwick-Baum (Binary Indexed Tree, BIT) beantworten sowohl Bereichsabfragen (z. B. Summe über [l, r]) als auch Punktaktualisierungen in O(log n), im Gegensatz zu O(n) für einen naiven Scan oder O(n) Aktualisierungen für ein Präfixsummen-Array.
Array + many "sum of range [l,r]" and "update index i" calls:
naive prefix sums: query O(1) but UPDATE is O(n)
segment/Fenwick: query O(log n) AND update O(log n)
class Fenwick:
def __init__(self, n):
self.t = [0]*(n+1)
def update(self, i, delta): # O(log n)
i += 1
while i < len(self.t):
self.t[i] += delta
i += i & (-i) # jump to next responsible node
def prefix(self, i): # sum of [0..i], O(log n)
i += 1; s = 0
while i > 0:
s += self.t[i]
i -= i & (-i)
return s
def range_sum(self, l, r):
return self.prefix(r) - self.prefix(l-1)
Ein Segmentbaum speichert für jeden Array-Segment eine Aggregation in einem binären Baum und unterstützt jede assoziative Operation (Summe, Min, Max, gcd) und mit Lazy Propagation auch Bereichsaktualisierungen.
[0..7] sum
/ \
[0..3] [4..7]
/ \ / \
[0..1][2..3] [4..5][6..7] ... down to single elements
| Fenwick (BIT) | Segmentbaum | |
|---|---|---|
| Abfrage / Aktualisierung | O(log n) | O(log n) |
| Speicher | O(n) | O(2n) |
| Operationen | Summen (invertierbar) | jede assoziative Op |
| Bereichsaktualisierungen | schwieriger | einfach (Lazy Propagation) |
| Codegröße | winzig | größer |
Diese Strukturen ermöglichen "einen Wert aktualisieren, dann eine Aggregation über einen Bereich abfragen" schnell — essentiell für Competitive Programming, Analytics-Fenster und Intervalprobleme.
Die Wahl zwischen ihnen ist ein Trade-off: Ein Fenwick-Baum ist klein und schnell für Summen, während ein Segmentbaum für Min/Max/Bereichsaktualisierungs-Workloads flexibler ist.