A szegmentumfa és a Fenwick-fa (Binary Indexed Tree, BIT) egyaránt válaszol a tartománylekérdezésekre (pl. [l, r] feletti összeg) és a pontfrissítésekre O(log n) időben, szemben az O(n) idővel egy naiv vizsgálathoz vagy O(n) frissítésekhez egy előtag-összeg tömbhöz.
Array + many "sum of range [l,r]" and "update index i" calls:
naive prefix sums: query O(1) but UPDATE is O(n)
segment/Fenwick: query O(log n) AND update O(log n)
class Fenwick:
def __init__(self, n):
self.t = [0]*(n+1)
def update(self, i, delta): # O(log n)
i += 1
while i < len(self.t):
self.t[i] += delta
i += i & (-i) # jump to next responsible node
def prefix(self, i): # sum of [0..i], O(log n)
i += 1; s = 0
while i > 0:
s += self.t[i]
i -= i & (-i)
return s
def range_sum(self, l, r):
return self.prefix(r) - self.prefix(l-1)
A szegmentumfa egy bináris fában tömb szegmentumenként tárol egy aggregátumot, bármilyen asszociatív műveletet (összeg, minimum, maximum, gcd) támogat, és a lusta terjedéssel tartományi frissítéseket is.
[0..7] sum
/ \
[0..3] [4..7]
/ \ / \
[0..1][2..3] [4..5][6..7] ... down to single elements
| Fenwick (BIT) | Szegmentumfa | |
|---|---|---|
| Lekérdezés / frissítés | O(log n) | O(log n) |
| Hely | O(n) | O(2n) |
| Műveletek | összegek (invertálható) | bármilyen asszociatív op |
| Tartományi frissítések | nehezebb | könnyű (lazy propagation) |
| Kódméret | apró | nagyobb |
Ezek a struktúrák gyorsá teszik az "érték frissítése, majd egy tartomány feletti aggregátum lekérdezése" műveletet — nélkülözhetetlen az algoritmikus versenyzéshez, analitikai ablakok kezeléséhez és intervallum problémákhoz.
A közöttük való választás egy kompromisszum: a Fenwick-fa kicsi és gyors az összegekhez, míg a szegmentumfa rugalmasabb a min/max/tartomány-frissítés terhelésekhez.