Interval strom a Fenwick strom (Binary Indexed Tree, BIT) obojí odpovídá dotazům na rozsahy (např. suma přes [l, r]) a bodovým aktualizacím v O(log n), oproti O(n) pro naivní sken nebo aktualizacím O(n) pro pole prefix-sum.
Interval strom a Fenwick strom (Binary Indexed Tree, BIT) obojí odpovídá dotazům na rozsahy (např. suma přes [l, r]) a bodovým aktualizacím v O(log n), oproti O(n) pro naivní sken nebo aktualizacím O(n) pro pole prefix-sum.
Array + many "sum of range [l,r]" and "update index i" calls:
naive prefix sums: query O(1) but UPDATE is O(n)
segment/Fenwick: query O(log n) AND update O(log n)
class Fenwick:
def __init__(self, n):
self.t = [0]*(n+1)
def update(self, i, delta): # O(log n)
i += 1
while i < len(self.t):
self.t[i] += delta
i += i & (-i) # jump to next responsible node
def prefix(self, i): # sum of [0..i], O(log n)
i += 1; s = 0
while i > 0:
s += self.t[i]
i -= i & (-i)
return s
def range_sum(self, l, r):
return self.prefix(r) - self.prefix(l-1)
Interval strom ukládá agregát pro každý segment pole v binárním stromě a podporuje jakoukoli asociativní operaci (suma, min, max, gcd) a se "lazy propagation" i rozsahové aktualizace.
[0..7] sum
/ \
[0..3] [4..7]
/ \ / \
[0..1][2..3] [4..5][6..7] ... down to single elements
| Fenwick (BIT) | Interval strom | |
|---|---|---|
| Dotaz / aktualizace | O(log n) | O(log n) |
| Prostor | O(n) | O(2n) |
| Operace | sumy (invertibilní) | jakákoli asociativní op |
| Rozsahové aktualizace | obtížnější | snadné (lazy propagation) |
| Velikost kódu | miniatury | větší |
Tyto struktury umožňují "aktualizovat hodnotu, poté dotazovat agregát v rozsahu" rychle — nezbytné pro konkurenční programování, analýzu oken a problémy s intervaly.
Volba mezi nimi je kompromis: Fenwick strom je malý a rychlý pro sumy, zatímco interval strom je flexibilnější pro min/max/rozsahové aktualizace pracovní zátěž.